Gauss’un sınıf hikâyesi ve matematiksel düşünmenin farklı yolları
1 + 2 + 3 + … + 100 toplamı kaçtır?
Bu soruyu duyan pek çok kişinin aklına hemen bir hikâye gelir: Küçük Carl Friedrich Gauss, öğretmeninin verdiği uzun toplama işlemini birkaç saniyede bitirmiştir. Hikâye güzel; ama önce ne kadarının belgelere dayandığına bakalım, sonra problemi üç farklı yoldan çözelim.
Hikâyenin belgeli kısmı
Olayın bilinen en eski anlatımı, Gauss’un ölümünden bir yıl sonra, 1856’da Göttingen Üniversitesinden Wolfgang Sartorius von Waltershausen’in yayımladığı anma kitabındadır. Bu anlatıma göre Gauss, 1784’te yedi yaşını doldurduktan sonra Braunschweig’da Büttner adlı bir öğretmenin okuluna başlar. İki yıl sonra aritmetik sınıfına geçtiğinde öğretmen bir aritmetik dizinin toplamını sorar. Gauss taş tahtasını hemen masaya bırakır ve yöresel ağızla “İşte orada.” der. Sonunda Gauss’un cevabı doğru çıkar; diğer öğrencilerin birçoğu ise yanılmıştır. Sartorius, Gauss’un bu olayı yaşlılığında keyifle anlattığını da ekler.
Dikkat çekici olan, bu ilk anlatımda neyin yer almadığıdır: Toplanan sayıların 1’den 100’e kadar olduğu söylenmez; Gauss’un hangi yolu izlediği de anlatılmaz.
Brian Hayes, hikâyenin sekiz dilde yüzü aşkın anlatımını karşılaştırdığı yazısında, “1’den 100’e” ayrıntısına incelediği kaynaklarda ilk kez 1938’de rastladığını belirtir. E. T. Bell ise 1937’de yayımlanan kitabında, problemin 81297 + 81495 + … + 100899 “türünden” bir toplam olduğunu yazar. Öğretmenin sınıfı oyalamak istediği gibi ayrıntılar da sonraki anlatımlarda eklenmiş yorumlardır.
Yani bildiğimiz sahne, belgelenmiş bir çekirdeğin üzerine zamanla eklenen ayrıntılardan oluşur. Bu, hikâyeyi değersiz kılmaz; yalnızca neyin belge, neyin yorum olduğunu ayırt etmemiz gerektiğini hatırlatır.
Birinci yol: Eşleştirme
Sayıları baştan ve sondan birer birer eşleştirelim:
Her çiftin toplamı 101’dir ve 100 sayıdan 50 çift oluşur:
İkinci yol: Toplamı tersten yazmak
Toplama S diyelim ve aynı toplamı bir de tersten yazalım. İki satırı alt alta topladığımızda her sütunun toplamı 101 olur:
Alt satırda 100 tane 101 vardır. Böylece 2S = 100 · 101 = 10.100 ve S = 5050 bulunur. Bu yolun güzelliği, terim sayısı tek olduğunda da hiçbir değişiklik gerektirmemesidir; eşleştirmede ise ortada kalan sayıyı ayrıca düşünmek gerekir.
Üçüncü yol: Noktalarla görmek
1, 2, 3, … nokta içeren satırları alt alta dizdiğimizde bir merdiven, yani üçgen biçiminde bir şekil oluşur. Aynı merdivenden bir tane daha yapıp ters çevirerek yanına koyarsak, iki merdiven birlikte n satır ve n + 1 sütunluk bir dikdörtgen oluşturur. Dikdörtgendeki nokta sayısı n(n + 1) olduğuna göre, tek merdivendeki nokta sayısı bunun yarısıdır:
n = 100 için yine 5050 bulunur. Bu biçimde elde edilen 1, 3, 6, 10, 15, … sayılarına üçgensel sayılar denir.
Neden üç yol?
Üç çözüm de aynı cevaba ulaşır ama farklı düşünme biçimlerini öne çıkarır: Eşleştirme bir örüntüyü fark etmeyi, tersten yazma cebirsel bir hamleyi, nokta modeli ise görselleştirmeyi gerektirir. Aynı problemi birden fazla yoldan çözmek, hangi yöntemin hangi durumda daha kullanışlı olduğunu tartışmak için de iyi bir fırsattır.
Sınıf için deneme soruları
- 1’den 50’ye kadar olan sayıların toplamını üç yoldan da bulun.
- 3 + 7 + 11 + 15 + … + 99 toplamı kaçtır? İpucu: Önce kaç terim olduğunu bulun.
- 1 + 3 + 5 + … + 99 toplamını nokta modeliyle düşünün. Tek sayıların toplamı neden bir kare sayı çıkar?
Cevaplar sırasıyla 1275, 1275 ve 2500.
